Por que existem vs Por que existem?
A escolha entre as frases que existem e existem no início de uma frase é determinada pelo substantivo que a segue. Use lá quando o substantivo estiver no singular (“Há um gato”). Use quando o substantivo estiver no plural (“Existem dois gatos”).
Por que não há ou por que não há?
Não há necessidade de ser seguido por um plural. Não há necessidade de ser seguido por um singular. Não há é usado com substantivos incontáveis também, é claro, porque eles são sempre singulares.